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Teorema di modulo massimo |
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Funzione complessa teoria sul modulo di un valore di funzione importante ed utile teorema asserisce il modulo di funzioni analitiche non può essere raggiunto il valore massimo all'interno della regione, a meno che sia una funzione costante. Questo principio può essere specificatamente descritto come segue: Sia f (z) è un limitato G olomorfa dominio all'interno e sulla funzione continua su M (дG, ƒ) indica | f (z) | in G è il massimo limite дG valore, allora non è costante all'interno del G | f (z) | Funzione complessa teoria delle funzioni analitiche di questo teorema può ottenere le proprietà topologiche della mappatura per ottenere una dichiarazione diretta che pochi di funzioni analitiche mappano gli aperti è un aperto; anche in grado di dimostrare dal punto di vista di analisi, che si basa sul Cauchy formula integrale, la funzione ƒ (z) G entro il dominio di qualsivoglia disco chiuso | z-z0 | ≤ r il centro del cerchio è uguale al suo valore integrale della media aritmetica. Esso può essere visto pochissimi holomorphic suo modulo G non può essere realizzato all'interno del massimo. Questo principio nella teoria delle funzioni ha una gamma molto ampia di applicazioni per la dimostrazione di questo teorema è basato sono molto concisa.Adama tre motivi tondo principio del massimo modulo può essere derivata, non costante intera funzione ƒ (z) nel cerchio | z | = r sul modulo massimo M (r, f) è una funzione crescente di r. J. (-S). Adama nel 1896 per dimostrare ulteriormente il logaritmo di modulo massimo è sotto LNR crescente funzione convessa, il risultato si chiama Hadamard tre teoremi cerchio. Esso può essere espresso come segue: Sia f (z) nel ring r1 ≤ | z | ≤ r2 olomorfa su M (rk, ƒ) indica ƒ (z) a | z | = rk (k = 1,2,3 ) sulla norma del massimo, poi per r1 ≤ ≤ r2 r3 ha LNM (r3, ƒ) ≤ (lnr2-lnr3) / (lnr2-lnr1) * LNM (r1, ƒ) (lnr3-lnr1) / (lnr2-lnr1) * LNM (r2, ƒ) O riscritta come [M (r3, ƒ)] ^ [ln (R2/R1)] ≤ [M (r1, ƒ)] ^ [ln (R2/R3)] [M (r2, ƒ)] ^ [ln (r3/r1)] Esso descrive anche la formula ƒ (z) sia in un cerchio concentrico entro la capienza massima da esso muoiono nel ring, la circonferenza esterna della massima norma da controllare. Borel - Carla Theodore corsia teoremi sulle funzioni olomorfe di modulo massimo e la parte reale del valore massimo del rapporto tra un teorema. E 'la prima volta da (F. - E.-J. -) E Borel ottenuta C. Kara dopo Theodore corsia miglioramenti.. Come è noto, una funzione analitica è determinata essenzialmente dalla parte reale. Può essere ottenuto immediatamente dal Schwartz formula M (r, f) stima, che consiste della parte reale dei più grandi concentrici modulo massimo e │ ƒ (0) │ dato. Principio modulo massimo può essere applicato facilmente e velocemente ottenere un risultato più accurato. Lasciate ƒ (z) a | z | ≤ R olomorfa in A (R) Tabella In realtà Ministero | z | = R sul massimo, ci M (r1, ƒ) ≤ 2r / (Rr) * A (R) (R r) / (Rr) * ︱ f (0) ︱. È da notare che la formula A (R) non è ƒ (z) la parte reale della │ │ z = R sulla massima norma, questo è in alcune applicazioni (come lo studio delle funzioni intere) ha un significato importante. Ferragamo Mans - Linde Loew importante principio di massima teorema modulo di promozione. Si compone di Ferragamo Mans, EL Loew 1908 Linde ottenuto può essere descritto come segue: Sia G il punto di partenza originario delle due dominio angolare semi-rettilineo della questione, e il suo angolo di απ (0 <α ≤ 2), e supponiamo che f (z) all'interno dei suoi confini in linea G olomorfa, se vi è una linea retta in questa due | f (z) | ≤ M e G soddisfano ︱ tra f (z) ︱ <O [e ^ (| z ︱ ρ)], dove ρ <1 / α, quando z │ │ → ∞ quando c'è ︱ costante all'interno del G f (z) ︱ ≤ M. Questo teorema afferma che, in funzione olomorfa zona d'angolo, se deve soddisfare all'angolo di una regione associata con l'angolo di inclinazione delle condizioni di crescita dominio, può muoiono entro i suoi G modulo massimo sulla linea di contorno da controllare. Questo teorema ha molte altre forme e di ulteriori ricerche, e nel valore asintotico delle funzioni intere, teoria analitica dei numeri e della teoria della serie di Dirichlet ha applicazioni importanti. Schwarz Lemma teoria geometrica della funzione complessa variabile è di vasta portata teorema fondamentale, viene prima scoperta dal HA Schwarz. Il seguente forma narrativa e si è rivelato essere un Theodore classica nel 1912 da Carla dato. Lasciate ƒ (z) all'interno del cerchio unitario D olomorfa e │ ƒ (z) │ <1, se f (0) = 0, allora | f (z) | ≤ | z | e │ ƒ ┡ (0) │ ≤ 1. Il primo rapporto, in cui z = 0, dove l'uguaglianza. Inoltre, questo due relazioni sse f (z) = ez (α è un numero reale) quando vale l'uguaglianza. Il semplice significato geometrico di questo lemma è che se w = f (z) mappatura z = 0 per w = 0, e D è il cerchio unitario come ƒ (D) contenuta nel piano w cerchio unitario, allora o un circolo chiuso Dr : z │ │ ≤ r il ƒ simile (Dr) contenute in un piano del cerchio chiuso w w │ │ ≤ r interno, e solo se, f (z) = ez, la mappatura è la rotazione circolare originale sull'origine. Applicazione Schwartz lemma ottenere immediatamente la circonferenza unitaria su se stesso undici di mappatura conforme è Mobius trasformazione τ (z) = e ^ (iα) * (z-z0) / (1-ω0z), (ω0 è il coniugato di z0), Dove | z0 | <1, α è un numero reale. Nel 1916, G. Pique notato Schwarz lemma può avere una trasformazione di Möbius invariante il modulo qui sopra, essa può derogare f (0) = 0 condizione. Lasciate che consideri la metrica iperbolica in D, l'elemento di linea è dσz = ︱ ︱ dz / (1 - z ︱ ︱ ^ 2), e definire la curva rettificabile у lunghezza iperbolica L (γ) = ∫ 2 ︱ ︱ dz / (1 - z ︱ ︱ ^ 2), D entro due punti del ρ iperbolico distanza (Z1, Z2) sono due punti di collegamento D a questa lunghezza curva iperbolica sotto infatti delimitata misurabile insieme E è la misura iperbolica è m (E) = ∫ ∫ 4dxdy / [(1 - ︱ ︱ z ^ 2) ^ 2]. Ovviamente tutto l'importo di cui sopra è invariante per trasformazioni di Möbius. Forma invariante Pique di Schwarz lemma descritto come segue: mappatura unità di cerchio in se stessa mappatura analitica permette la distanza iperbolica tra due punti, la lunghezza della curva iperbolica e stretta insieme di misura iperbolica, solo se la mappatura è il Mobius trasformazione, questi rimangono invariati. Schwarz lemma ci sono più sofisticati e riflettono la natura della forma generale della curvatura, e nella teoria delle funzioni di più variabili complesse nei risultati corrispondenti. |
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