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Zorn lemma |
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Zorn lemma (Lemma di Zorn), è conosciuto anche come librerie che Tusk - Zorn lemma (Kuratowski-Zorn), è la teoria degli insiemi (teoria degli insiemi) è un teorema importante. Breve introduzione In qualsiasi non vuoto parzialmente ordinato, se uno della catena (cioè un sottoinsieme totalmente ordinato) ha un limite superiore, allora ci deve essere un elemento di grande insieme parzialmente ordinato. Zorn lemma è un matematico Zorn (Max Zorn) di nome. Risolvere In particolare, supponiamo <math> (P, \ le) </ math> è un insieme parzialmente ordinato, che è un sottoinsieme <math> T </ math> è chiamato è un sottoinsieme totalmente ordinato, se Per qualsiasi <math> s, t \ in T </ math>, <math> s \ le t </ math> o <math> t \ le s </ math> sia l'unico e solo uno stabilimento. E <math> T </ math> è chiamato il limite superiore, se <math> P </ math> in presenza di un elemento <math> u </ math>, tale che per ogni <math> t \ in T </ math>, ha <math> t \ le u </ math>. Nella definizione di cui sopra, non richiede <math> u </ math> deve essere T <math> </ math> elementi. E un elemento <math> m \ in T </ math> è detto è il più grande, se <math> x \ in T </ math> e <math> x \ ge m </ math>, poi l'inevitabile Ci <math> x = m </ math>.Zorn lemma, buon ordinamento teorema di (buon ordinamento teorema) e l'assioma della scelta (assioma di scelta) è equivalente a vicenda, negli assiomi di Zermelo-Fraenkel della teoria degli insiemi (Zermelo-Fraenkel assioma della teoria degli insiemi), sulla base del suddetto termine di tre ogni partenza dagli altri due può dedurre. Zorn lemma in varie branche della matematica ha un ruolo importante, per esempio, ha dimostrato l'analisi funzionale (Functional Analysis) è rara - Barnard ha Teorema (Teorema di Hahn-Banach), non ci deve far valere un qualsiasi vettore spaziale, topologia spazio stretto dimostrato spazio prodotto rimane il suo teorema Tychonoff e algebra astratta che ogni anello deve avere grandi ideali e di qualsiasi dominio deve avere processo di chiusura algebrica, Zorn lemma hanno giocato un ruolo fondamentale. Una tipica applicazione del lemma di Zorn per dimostrare qualsiasi anello <math> R </ math> è destinato ad avere un grande ideale. Con <math> P </ math> per rappresentare <math> R </ math> per tutti i veri ideali (cioè <math> R </ math> di tutto ideale bilaterale, e l'ideale è <math> R < ;/ math> è un sottoinsieme proprio). In <math> P </ math> di introdurre un ordine parziale, definita come la relazione di inclusione set, poi <math> P </ math> è legato con un ottimo elemento, e questo elemento è <math> R < ;/ math> è un sottoinsieme proprio, così <math> R </ math> ha un ideale massimale. Al fine di applicare Zorn lemma per dimostrare <math> P </ math> qualsiasi sottoinsieme totalmente ordinato <math> T </ math> ha un limite superiore, che ci sia un <math> ideale I < / math> incontrare <math> I \ subset R </ math> e <math> I </ math> di <math> T </ math> in un solo elemento di grande, ma <math> I < / math> è non <math> R </ math> stesso. Ora prendete <math> I </ math> è <math> T </ math> e tutto ideale. Può essere dimostrato, <math> I </ math> è un ideale: se <math> un </ math> e <math> b </ math> è <math> I </ math> in due elemento, allora ci deve <math> T </ math> in due ideali <math> J, K \ in T </ math> incontrare <math> un \ in J, b \ in K </ math> . Nota <math> T </ math> è totalmente ordinata, quindi ci deve essere <math> J \ subset K </ math> o <math> K \ subset J </ math>, e quindi ci deve essere < matematica> a, b \ in J </ math> o <math> a, b \ in I </ math> o l'una o l'altra, così <math> a b \ in I </ math>. Inoltre, per ogni r <math> \ in R, un \ in I </ math> può attestare <math> ra \ in I </ math>. Così, <math> I </ math> essere <math> R </ math> è un ideale. Consideriamo ora i componenti di base collaudati: utilizzare <math> I = R </ math> e sufficiente <math> 1 \ in I </ math>, può rivelarsi <math> I </ math> deve essere < matematica> R </ math> è un sottoinsieme proprio. Perché se <math> 1 \ in I </ math>, allora ci deve essere un J <math> \ in T </ math> incontrare <math> 1 \ in J </ math>, che significa < , matematica> J = R </ math>, che <math> T </ math> La selezione è contraddittorio. Così, da Zorn lemma, <math> P </ math> deve contenere un elemento di massima, e tale elemento è <math> R </ math> è un ideale massimale. Si noti che questa conclusione è solo <math> R </ math> è l'unità quando l'anello è stato istituito nel <math> R </ math> non è il caso di unità dell'anello, in generale, questa conclusione non è stabilito. Supponendo Zorn lemma non regge, allora esiste un insieme parzialmente ordinato <math> P </ math> rende ogni sottoinsieme totalmente ordinato ha un limite superiore, ma <math> P </ math> in ogni elemento non l'elemento più grande. Pertanto, per ogni sottoinsieme totalmente ordinato <math> T </ math>, è possibile definire un elemento <math> b (T) </ math>, è più grande di <math> T </ math> di limite superiore. Per garantire che una tale definizione può essere raggiunto, dobbiamo prima riconoscere l'assioma della scelta. Utilizzando la funzione appena definita <math> b </ math>, è possibile definire una sequenza <math> a_0 <a_1 <\ dots </ math>, dove l'indice pedice impostato come non solo è un numero naturale, è anche possibile è il numero sequenziale. Infatti, la sequenza può essere costruito è stato "abbastanza lungo" rende ancora più <math> P </ matematica> stessa, perché il numero ordinale è maggiore della cardinalità di qualsiasi raccolta, così <math> P </ math> Questa sequenza sarà esaurito, che portano a una contraddizione. La sequenza può essere costruito utilizzando l'induzione transfinita: <math> a_0 </ math> può essere selezionato come <math> P </ math> qualsiasi elemento (una tale scelta è possibile, perché <math> P < ;/ matematica> contiene almeno un limite superiore dell'insieme vuoto, così <math> P </ math> è non-vuoto), e per un arbitrario ordinale <math> w </ math>, definito <math> a_w = b (\ {a_v \ mid v <w \}) </ math>, nota <math> a_v </ math> è un ordine totale, così <math> a_w </ math> è definito come un ragionevole . In realtà, questa conclusione si è rivelata un po 'più forte di Zorn lemma: Se <math> P </ math> è un insieme parzialmente ordinato, e uno solo dei suoi sottoinsieme ben ordinata ha un limite superiore, quindi per <math> P </ math> è un elemento arbitrario <math> x < / math> interessati, <math> P </ math>, vi è un maggiore o uguale <math> x </ math> è l'elemento principale. In altre parole, c'è una lattina <math> x </ math> Confronto l'elemento massimo. Conclusiva Zorn lemma era prima biblioteca nel 1922 che Donald Tusk (K. Kuratowski) scoperto nel 1935 Zorn (Max Zorn) anche scoperto indipendentemente questa conclusione. |
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