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Monoid |
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In algebra astratta questa branca della matematica, un monoide è un'operazione binaria può essere combinato con una struttura algebrica elemento di unità. Apparirà monoid in molti rami della matematica. In geometria, Munoidi catturare il concetto di una funzione composta. Definizione Commenta È un monoide con un'operazione binaria *: M × M → M è un insieme di M, che soddisfano i seguenti assiomi: associatività: Per ogni M l'a, b, c, (a * b) * c = a * (b * c). Elemento unità: l'esistenza di un elemento all'interno M e, tale che entro un qualsiasi a un M soddisfano un * e = e * a = a. Inoltre, in genere più di aggiungere un altro assioma: Chiuso: all'interno di qualsiasi del M a, b, a * b sarà entro il M.Ma questo non è necessario, perché questo è incorporato nei binari assiomi aritmetici di questo. Inoltre, il monoid può anche dire semigruppo con elemento di unità. Oltre a non avere elementi monoid inversi, per soddisfare tutti gli altri gruppi di assiomi. Così, un elemento con un monoidi inversi e gruppi sono gli stessi. Generatori e sub-monoid Sub-monoid M è un monoid in M contiene un elemento di un'unità posseduto chiusa (per esempio, se x, y ∈ N, allora x * y ∈ N) sottoinsieme di N. Chiaramente, N stesso sarebbe un M monoid nell'operazione binaria diretta dal basso. Equivalentemente, il sub-monoid è un sottoinsieme di N, dove N = N, e l'apice * per la stella Kleene. Per ogni sottoinsieme di M all'interno N, il sub-monoide N N conterrà la più piccola monoide. Sottoinsieme di N è chiamato un generatore di M se e solo se M = N. Quando N è finita, M ad essere conosciuto è finitamente generato. Monoid commutativa Il funzionamento è monoid commutativa si chiama monoide commutativo (o, meno terra, chiamato Abeliano monoid). Operazione monoid commutativa sarà spesso scritto come un plus. Ogni monoide commutativo sono naturalmente un proprio preordini algebra ≤, è definita come la seguente: x ≤ y se e solo se esiste z tale che x z = y. Commutativo monoid M è una unità della sequenza di elementi in M u, dove per eventuali elementi all'interno del M x interessata, ci sarà sempre un intero positivo n tale che x ≤ nu. Questo è spesso usato in M abeliano gruppo G è una sequenza parziale del cono è il caso, in questo caso diciamo u è una sequenza di G - unit. Ci accettare qualsiasi monoid scambio, e di trasformarlo in una qualifica abeliano struttura piena di gruppo algebrico; Questa struttura si chiama il gruppo di Grothendieck. Commutativa parte monoid Funzionamento solo per alcuni elementi, ma non tutti gli elementi sono tracce scambiabili monoide è un monoide; monoidi tracce di solito compaiono nella teoria di calcolo simultaneo. Natura In un monoide, gli elementi è possibile definire una potenze intere positive di x: x = x e x = x * ... * x (moltiplicato per n volte), dove n> 1. Potere regola x = x * x è evidente. Definito dalla centralina elemento E può dimostrare che è unica. Allora, per ogni x, è possibile impostare x è posta, poi il potere delle norme è ancora in una potenza non negativo verrebbe stabilita. Elementi inversa: un elemento x è chiamato reversibile, se esiste un elemento y, tale che x * y = e e y * x = e. Questo elemento sarà chiamato x, y elemento inverso. L'associatività fa il suo elemento inverso (se esiste) è unico. Se x è l'inverso di y, è possibile definire le potenze negative di x per x = y e x = y * ... * y (moltiplicato per n volte), dove n> 1. In tutti i poteri delle regole sono istituiti su un intero, ed è per questo l'elemento inverso x è di solito scritto come x. Tutti M elementi reversibili monoid all'interno, e le sue operazioni possono essere composti da una base. In questo senso sotto ogni monoid contiene una base. Ma non tutti i monoid sono inclusi in un gruppo all'interno. Ad esempio, ci può essere un monoid assoluto i cui due elementi A e B hanno a * b = un rapporto, anche se b non è un elemento unità. Quindi è impossibile monoid incluso in un gruppo all'interno, poiché nel gruppo, su entrambi i lati dell'elemento inverso di un giro insieme, otteniamo b = e il risultato, ma questo non è vero. Un monoid (M, *) se un eliminative, significa che la qualsiasi dei M a, b, c, a * b = a * c b = c, e sta sempre b * a = c * è un sta sempre b = c. Uno con l'eliminazione di monoid scambiabili può sempre incluso in un gruppo all'interno. Questo è il motivo per cui il numero intero (gruppo sotto operazione di addizione) può essere un numero naturale (con l'eliminazione della tolleranza monoid scambiabile) creato. Ma si ha l'eliminazione di monoid non commutativa non è certamente essere incluso in un gruppo. Se vi è una eliminazione di monoid ed è limitato, sarà un gruppo. Un monoid reversibile è una M monoid una qualsiasi in una, esiste sempre un unico all'interno del M a, quindi a = aaa ea = aaa. Un monoid monoid G è un sotto-sottoinsieme di G H, che contiene un elemento di unità, e se x, y appartengono a H, allora xy appartiene a H. Chiaramente, H sé è un monoid sotto l'operazione binaria di G. Congruenze monoid e quoziente monoid Congruenza monoid è compatibile con il prodotto monoide relazione di equivalenza. Cioè, è un sottoinsieme del In modo che sia riflessiva, simmetrica e consegna (in tutti i rapporti equivalenti ad esso), ma anche per tutti M e se il x, y, uev, poi alcune proprietà. Congruenze monoid piombo classe congruenza |
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